Определение гравитационной постоянной

В 1797—1798 годах британским учёным Генри Кавендишем был проведен опыт с целью определения средней плотности Земли, что он называл «взвешиванием мира».
А вы бы с чего начали, чтобы взвесить Землю? Какие практические шаги советуете предпринять? (Ответы на вопросы, которые мы здесь вам задаем, очень просты, стоит только немного подумать. Поэтому не торопитесь заглянуть в подсказки, если хотите достичь максимальной пользы от нашего материала.) Теперь кликни: ПОДСКАЗКА.

Кавендиш предложил взять уменьшенную копию Земли известного размера и массы, измерить силу притяжения к такой модели Земли какого-нибудь тела так же известной массы. Таким образом удалось бы составить пропорцию: тело массы m притягивается к модели Земли массой М с силой f, а то же тело массой m притягивается к Земле с силой F = mg. Значит Земля имеет массу... Проблема только в том, что сила f так мала (у Кавендиша она была равна 1,74·10⁻⁷ Н), что обычными средствами ее не измерить. Сравните, при подъёме песчинки диаметром 1 мм требуется усилие, примерно в 90 раз превышающее силу, измеренную по шкале Кавендиша. А вы бы что предложили для конструкции таких весов? ПОДСКАЗКА.

Британец Джон Мичелл увековечил свое имя как создатель крутильных весов (см. рис в окне анимации справа). Кавендиш доработал эту установку. Конструкция включала шестифутовое (1,8 м) коромысло l, закрепленное на медном волокне а длиной 40 дюймов (102 см). К плечам коромысла l ученый прикрепил два шара m₁ и m₂ из свинца диаметром по 2 дюйма (около 5 см) массой по 775 грамм, соорудив, таким образом, гантельку. Поворот коромысла вызывает в медном волокне a силу упругости, стремящуюся возвратить его к первоначальному положению. Имелась возможность пододвинуть к m₁ и m₂ два шара М₁ и М₂ диаметром около 1 фута (30 см) каждый и массой по 158 кг, чтобы наблюдать гравитационное притяжение между малым и большим шарами. Позднее для большей точности исследователи прикрепили зеркальце A к коромыслу, от которого отражался зайчик, падавший на измерительную шкалу.
Перед тем, как начать производить опыты надо решить еще несколько проблем. Высокая чувствительность крутильных весов потребовала исключить малейшее влияние на них даже самых слабых сучайностей. Что бы вы предложили для этого? Запишите ваши предложения в тетради и сравните их с тем, как поступил Кавендиш. ПОДСКАЗКА.

Установка Кавендиша была заключена в отдельную комнату без окон для предотвращения сквозняков и перепадов температуры, куда никто не входил во время опыта. Это исключало малейшее движение воздуха в установке. Для управления движением шаров через стену были выведены два конца нити, перекинутой через горизонтально расположенный блок, на котором могли вращаться большие шары. Наблюдение производилось через две подзорные трубы. Через них были видны шкалы с делениями по 1,3 мм (1/20 дюйма), стрелки, прикрепленные к малым шарам и шкала нониуса, позволявшая производить отсчет с точностью до четверти мм. Два фонаря позволяли через отверстия в стене подсвечивать шкалы.
Другая проблема, как отргадуировать эти шкалы, сопоставив мм единицы силы? ПОДСКАЗКА.

Вы же градуировали пружину динамометра. Здесь то же самое. Привяжем еще до начала опытов к малому шару нить, перекинутую через блок. Ко второму концу нити подвесим небольшой груз m_г известной массы, например 0,1 мг (или весом 1·10^-6 Н). Пусть коромысло с грузиками от этого повернулось по часовой стрелке на 20 делений. Тогда одно деление будет соответствовать 1·10^-6/20 Н. Запомним это, вернем установке прежний вид и приступим к взвешиванию Земли.
ОПЫТ КАВЕНДИША.

Сначала взвесим маленький шар m в поле тяготения большого шара M. Начнем придвигать большие шары к малым с помощью слайдера. Передвигайте его влево и следите за углом поворота α шаров M по отношению к меткам, а также за поворотом шаров m вследствие притяжения их к большим шарам.
Заметьте, притяжение становится заметным только при достаточно близком расположении шаров. Но даже и тогда это притяжение очень мало.
В верху анимации по мере сближения шаров будут появляться две важные величины: φ - угол, на который повернулись малые шары в делениях (по нему можно узнать силу притяжения шаров f, ибо как сказано выше, 20 делений это 1·10^-6 Н, а у вас делений ... Значит сила f равна ... Только надо это значение поделить пополам, ибо у нас было взято две пары шаров, и мы измеряли две силы); d - расстояние между центрами шаров в дюймах (переведите их в см, а затем в м).
Вспомним начало нашего разговора и сравним силу f притяжения к шару M и F к Земле массой M_з (которую и хотим найти). По закону Всемирного тяготения: f/F = (GMm/d²)/(GM_зm/R_з²) = MR_з²/d²M_з (1). Проблема была в том, что значение G в те времена было неизвестно. Оно было установлено позже другими учеными, но на основании опытов Кавендиша. Из формулы (1) имеем: M_з = FMR_з²/d²f, где F = mg. Легким движением мышки и вы сможете взвесить Землю вслед за Кавендишем. Любопытно, что у вас получится? Так же попробуйте получить значение постоянной Всемирного тяготения G.
Чтобы составить себе более полное представление об опыте Кавендиша можете посмотреть видео "Опыт Кавендиша" (4 мин 47 сек). В нем ошибочно утверждается, что именно Кавендиш определил значение постоянной Всемирного тяготения. Он всего лишь "взвесил" Землю.
Ответьте на вопросы для полного и прочного усвоения темы. Десятичные дроби вводятся через точку.
Примечание. 1 дюйм = 2,54 см; 1 фут = 30,48 см.