Advanced Placement (AP) Physics C. Механика

С1. Стоя на краю обрыва, выпускают из рук камень, который начинает падать и проходит первую половину пути за t₁ секунд. Если вторую половину пути до земли камень проходит за время t₂, чему равно отношение t₂/t₁? (Сопротивлением воздуха можно пренебречь).

С2. Брусок массой m начинает скользить по горизонтальной поверхности с начальной скоростью v₀. На него не действуют никакие силы, кроме силы тяжести и силы со стороны поверхности, по которой он скользит. Если коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью равен µ, какой путь пройдёт брусок до того, как остановится?

C3. Тело, находящееся в покое, начинает двигаться с ускорением, которое зависит от времени t так: a = (2 м/с³)t для t >0. На какое расстояние переместится тело за первые 3 с движения?

C4. При каком из следующих условий момент импульса не будут изменяться?

I. Сохранение импульса
II. Равнодействующая внешних сил равна нулю
III. Сумма моментов внешних сил равна нулю

C5. Как показано на рисунке, сила упругости нити F_T заставляет шарик массой m двигаться с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиусом R, находящейся в горизонтальной плоскости. Какое из следующих выражений даёт значение F_T?

C6. Тело массой m, находящееся над поверхностью Луны массой М, начинает падать с высоты h, равной радиусу Луны R. С какой скоростью это тело ударится о поверхность Луны?

C7. Пружина прикреплена к потолку, растяжение её описывается законом Гука. Если массу бруска, прикреплённого к нижнему концу пружины, удвоить, как изменится растяжение пружины в состоянии равновесия и период колебаний?

C8. Две нити, прикреплённые к потолку, плотно обмотаны вокруг цилиндра радиуса r и массой m. Цилиндр начинает опускаться вниз, разматывая нити и не скользя по ним. Считая, что момент инерции цилиндра равен ¹/₂ mr², найдите ускорение центра его масс.

C9. На однородный цилиндр, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности в состоянии покоя, начинает действовать постоянная сила F с момента времени t = 0 до t = T. В момент времени t = T эта сила перестаёт действовать. Какой из нижеприведённых графиков v(time) лучше всего иллюстрирует зависимость скорости v центра масс цилиндра от времени в диапазоне от t = 0 до t = 2T?

C10. Двигатель развивает мощность 10 кВт, поднимая груз с постоянной скоростью на высоту 20 м за 5 с. Чему равна масса этого груза?

С11. Искусственный спутник Земли движется вокруг неё по круговой орбите. На какой высоте находится спутник над поверхностью Земли, имеющей радиус R, если известно, что кинетическая энергия спутника равна работе, затраченной для вывода его на орбиту?

С12. На рисунке изображён однородный стержень массой М, покоящийся на двух опорах. Груз массой М/2 находится на стержне на расстоянии в два раза дальше от опоры 2 (Support 2), чем от опоры 1 (Support 1). Пусть F₁ и F₂ – силы, действующие вертикально вниз со стороны бруска на опоры 1 и 2, соответственно. Найти отношение сил F₂/F₁.

C13. Резиновый мяч массой 0,08 кг выпускают из рук с высоты 3,2 м, и после удара о пол он поднимается на ту же высоту. Считая, что удар мяча о пол длился 0,04 с, определить среднюю силу, с которой пол действовал на мяч.

С14. Диск радиусом 0,1 м начинает вращаться с угловым ускорением 2 с^-2. Считая, что диск только вращается, определить путь, пройденный точкой, находящейся на краю диска, за первые 4 с.

C15. На рисунке изображён шарик, скользящий вниз по гладкой поверхности, вертикальное сечение которой имеет вид одной четверти окружности радиуса R. Считая, что шарик начинает соскальзывать с высоты равной 2R относительно горизонтальной поверхности (surface), определить горизонтальную координату х точки, в которой он ударится об эту поверхность.

C16. На рисунке показана частица (particle), совершающая равномерное движение по окружности радиусом R. Два источника света, не показанные на рисунке, освещают частицу справа и сверху, что приводит к возникновению тени частицы на двух взаимно перпендикулярных экранах (Screen 1 и Screen 2). Стрелками на рисунке показаны положительные направления координат теней х и у вдоль соответствующих экранов. Выберите верное утверждение относительно координаты у тени на экране Screen 2 и направления движения этой тени, если в данный момент времени координата х тени на экране Screen 1, x = -R/2 и эта тень движется в положительном направлении.

C17. На рисунке показан вид сверху на два шара, соединённых твёрдым невесомым стержнем, которые покоятся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Когда к стержню прикладывают силу F, как это изображено на рисунке, он начинает двигаться с угловым ускорением относительно центра масс системы, равным kF/(mL). Чему равен k?

C18. Игрушечный легковой автомобиль центрально сталкивается с более тяжёлым грузовиком. Какое из следующих утверждений справедливо для этого столкновения?

I. Импульс силы, действующий на легковой автомобиль, больше, чем на грузовой.
II. Изменение импульса грузового автомобиля будет больше, чем у грузового.
III. Модуль ускорения легкового автомобиля будет больше, чем у грузового.

C19. Однородный стержень лежит на гладкой поверхности горизонтального стола. Кроме сил тяжести и реакции опоры, компенсирующих друг друга, на стержень действуют только две внешние силы, F₁ и F₂, параллельные поверхности стола. Если результирующая сила, действующая на стержень равна нулю, какое из следующих утверждений верно?

C20. Космонавт совершает посадку на планету, масса которой и радиус в два раза больше, чем у Земли. Если на Земле космонавт весит 800 Н, каким будет его вес на этой планете?

C21. На тело массой 1 кг действует сила F(x), величина которой зависит от положения частицы х, как это показано на графике, где F отложено в Ньютонах, а х – в метрах. Считая, что скорость тела была равна нулю при х = 0, определите его скорость при х = 4 м.

C22. Звезда вращается вокруг своей оси и сжимается, в результате чего её радиус уменьшается до 1/16 первоначального значения. Считая звезду однородной сферой, определить отношение вращательной кинетической энергии звезды в конце сжатия к её первоначальному значению.

C23. Мяч бросают с начальной скоростью v₀ = 40 м/с по направлению к вертикальной стене, как это показано на рисунке. Через какое время мяч ударится о стену?

С24. Если M, L и T обозначают размерности массы, длины и времени, соответственно, то какую размерность имеет импульс силы?

С25. Рисунок изображает вид сверху на два глиняных шара, движущихся навстречу друг к другу по гладкой поверхности. Между ними происходит абсолютно неупругое столкновение в точке, обозначенной на рисунке, после чего они движутся в направлении вектора v'. Считая m₁ = 2m₂, определить v₂.

C26. Коэффициент трения покоя между двумя брусками, изображёнными на рисунке, составляет 0,80. Бруски совершают колебания частотой 2,0 Гц. При какой максимальной амплитуде колебаний маленький брусок не будет скользить по большому?

С27. При столкновении двух тел коэффициентом реституции е, называют отношение их относительной скорости после столкновения к их относительной скорости до столкновения. Определите коэффициент реституции при столкновении мяча, отвесно падающего с высоты H₁ на неподвижный пол, при условии, что после этого он подпрыгнул на высоту Н₂.

C28. На рисунке показана однородная квадратная металлическая пластинка со стороной 40 см, лежащая на гладкой горизонтальной поверхности стола. Сила F, модуль которой равен 10 Н, приложена к одному из углов пластинки, как это показано на рисунке. Определите момент силы F относительно центра вращения пластинки.

C29. Маленький брусок массой 2 кг передвигают в вертикальной плоскости из начальной точки с координатами (x₀, z₀) = (0, 0) вверх в конечную точку (x_к, z_к) = (3 м, 3 м) вдоль траектории, изображённой на графике. Начальная часть траектории Path 1 описывается параболой z = x², а остальная часть Path 2 является четвертью окружности с уравнением (x-2)² + (z-2)² =2. Чему равна работа, совершённая против сил тяжести во время этого перемещения?

C30. На рисунке изображён брусок массой m, находящийся в состоянии покоя в точке с координатой х = А. Брусок лежит на горизонтальной поверхности и прикреплён к вертикальной стене растянутой пружиной (spring) с коэффициентом упругости k. Когда сила упругости растянутой пружины начинает двигать брусок обратно к стене, на брусок также действует сила трения, F_тр которую можно вычислить по формуле F_тр = bx, где b – положительная константа. Чему равна скорость бруска, когда он впервые проходит через положение равновесия (х = 0)?

C31. Стержень, показанный на рисунке, может вращаться в плоскости, перпендикулярной плоскости листа, вокруг оси, проходящей через х = 0. Линейная плотность стержня λ, увеличивается с расстоянием от оси вращения так, что λ(х) = kx, где k – положительная константа. Определите момент инерции стержня, зная его длину L, и его массу М.

C32. На частицу действует консервативная сила, и её потенциальная энергия U (в Дж) следующим образом зависит от координаты х (в м): U(x) = (x-2)³ – 12x. Найти координату положения устойчивого равновесия частицы.

C33. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы его дальность полёта была равна максимальной высоте подъёма? (сопротивлением воздуха пренебречь)

C34. Кинетическая энергия частицы изменяется со скоростью 6,0 Дж/с, когда скорость частицы равна 3,0 м/с. Чему равен модуль силы, действующей на частицу в этот момент времени?

C35. На тело массой 2 кг действуют три внешние силы, модуль каждой из которых равен 4 Н. Отметьте из перечисленных ниже величину ускорения, с которым не может двигаться данное тело под действием этих сил.

Часть I:

Часть II (со свободным ответом). За каждое правильно выполненное задание начисляется 15 баллов, каждый пункт данного задания имеет одинаковое количество баллов. На тест дается 45 минут. Разрешается пользоваться таблицей формул и калькулятором.

С1. (15 баллов). Маленький грузик массой М_b = 0.50 кг находится на длинной плите массой M_s = 3.0 кг, как показано на рисунке. Первоначально плита находится в покое, а блок имеет скорость v₀ = 4.0 м/с, направленную вправо. Коэффициент трения между грузиком и плитой μ = 0.20, а между плитой и горизонтальной поверхностью стола, по которой она перемещается, нет никакого трения.

(a) На рисунке справа схематично представлены грузик (Block) и плита (Slab). Нарисуйте и подпишите вектора сил, действующих на каждое тело.

В некоторый момент времени прежде, чем блок достигает правого конца плиты, и блок и плита приобретают одинаковую скорость v_f.

(b) Вычислите v_f.
(c) Вычислите расстояние пройденное плитой к моменту достижения ей скорости v_f.
(d) Вычислите работу силы трения плиты от начала ее движения до достижения ей скорости v_f.

С2. (15 баллов). Силой F пружина могла быть сжата на различную длину x от первоначального положения. Величина силы была измерена для каждого расстояния x. Данные занесены в таблицу (см. справа).

Предположим, что зависимость силы, приложенной к пружине, имеет вид F (x) = Ax².

(a) Какие величины должны быть отложены на осях графика, чтобы наклон полученной прямой линии мог использоваться для вычисления величины коэффициента A?
(b) Вычислите значения каждой величины, найденной вами в пункте (a), которые не были даны первоначально, и запишите эти данные в таблице (справа). Подпишите вверху название новой графы с указанием единицы измерения.
(c) На осях ниже нанесите величины, которые Вы использовали в пункте (a). Подпишите на осях названия переменных и проставьте числа вдоль осей в соответствующем масштабе.

(d) Используйте ваш график для вычисления коэффициента A.

Итак, пружина расположена горизонтально полу. Один конец пружины прикреплен к стене. Тележка массой 0.50 кг перемещается по полу с незначительным трением и сталкивается центрально со свободным концом пружины, сжимая ее при ударе на максимальное расстояние 0.10 м.
(e) Вычислите работу сжатия пружины на 0.10 м. от ее первоначальной длины.
(f) Вычислите скорость тележки непосредственно перед тем, как она ударится о пружину.

С3. (15 баллов). Тонкое кольцо массой М, радиусом R и моментом инерции MR² пускают вниз с вершины наклонной плоскости длиной L. Плоскость имеет угол наклона θ относительно горизонтального стола, к которому она прикреплена. Стол имеет высоту H от пола.
Предположим, что кольцо скатывается, не проскальзывая, вниз по наклонной плоскости и затем катится вдоль стола.
Все ответы дать в общем виде.

(а) Запишите выражение для ускорения центра масс кольца, когда оно скатывается вниз по наклонной плоскости.
(b) Запишите выражение для скорости центра масс кольца в конце наклонной плоскости.
(c) Запишите выражение для расстояния по горизонтали от края стола до точки, где кольцо упадет на пол.
(d) Предположим, что кольцо теперь заменено диском, имеющим ту же самую массу М и радиус R. Сравните расстояние от края стола до точки, где диск упадет на пол, с расстоянием, определенным в части(c) для обруча?
____ Меньше ____ Равно ____ Больше
Кратко обоснуйте ваш ответ.