Геометрия и алгебра действий над векторами.

Табл. 1
Проекции вектора на координатные оси.
Определение: проекцией вектора s→на ось называют отрезок между проекциями начала и конца вектора.
Правило знаков проекций: проекцию считают положительной, если от проекции начала к проекции конца вектора нужно идти по направлению оси, и отрицательной в противоположном случае.
Геометрически
 Алгебраически

|s|→= 5 ед.
sx = 4 ед.
sy = 3 ед.
α = 36° 52’
OX:  sx = s·Cos α = 5 ед.·0,8 = 4 ед.
OY:  sy = s·Sin α = 5 ед.·0,6 = 3 ед.

|s|→= 5 ед.
sx = 5 ед.
sy = 0 ед.

OX: sx = |s| = 5 ед.
OY: sy = 0 ед.

|s|→= 5 ед.
sx = 0 ед.
sy = - 5 ед.

OX: sx = 0 ед.
OY: sy = - |s| = - 5 ед.
α = 36° 52’
|s|→= 5 ед.
OX: sx = -3 ед.
OY: sy = - 4 ед.

sx = -s·Sin α = -5 ед.·0,6 = -3 ед.
sy = -s·Cos α = -5 ед.·0,8 = -4 ед.

Табл. 2
Умножение вектора на скаляр (число).
Определение:  Произведение вектора  a→на скаляр m равно вектору  F→, модуль которого в m раз больше модуля вектора  a,→ а направление совпадает с направлением  при положительном m и противоположно ему при отрицательном m.
Геометрически
 Алгебраически
m = 2; |a| = 5 ед.
|F|→= |ma|→= 10 ед.
OX: Fx = max = 8 ед.
OY: Fy = may = 6 ед.
|F|→= |ma|→= 2·5 ед.= 10 ед.
Fx = max = ma·Cos α = 2·5 ед.·0,8 = 8 ед.
Fy = may = ma·Sin α = 2·5 ед.·0,6 = 6 ед.

Табл. 3
Сложение векторов.
1 способ:
- перенести векторы s1→и s2→ параллельно самим себе, чтобы они выходили из одной точки;
- построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм;
- суммой векторов будеттретий вектор s0→– диагональ параллелограмма, выходящая из общей точки слагаемых векторов.
Геометрически
 Алгебраически
|s1|→= 5 ед. |s2|→= 5 ед.
s0 = |s1→+ s2|→≠ 10 ед.
s0 = |s1→+ s2|→= 9,5 ед.
s0x = s1x + s2x = 9 ед.
s0y = s1y + s2y = 3 ед.


s0 = √(s0x2 + s0y2) = √(92 + 32)  = √(81 + 9)  = √ (90) = 9,5 ед.
s0x = s1x + s2x = 4 ед. + 5 ед. = 9 ед.
s0y = s1y + s2y = 3 ед. + 0 = 3 ед.
2 способ:
- перенести векторы s1 и s2 параллельно самим себе, чтобы конец первого был началом второго;
- сумма векторов - третий вектор s0, соединяющий начало первого и конец второго.
Геометрически
 Алгебраически
|s1|→= 5 ед. |s2|→= 5 ед.
s0 = |s1→+ s2|→≠ 10 ед.
s0 = |s1→+ s2|→= 9,5 ед.
s0x = s1x + s2x = 9 ед.
s0y = s1y + s2y = 3 ед.

s0 = √(s0x2 + s0y2) = √(92 + 32)  = √(81 + 9)  = √ (90) = 9,5 ед.
s0x = s1x + s2x = 4 ед. + 5 ед. = 9 ед.
s0y = s1y + s2y = 3 ед. + 0 = 3 ед.

Табл. 4
Вычитание векторов.
1 способ:
- разностью двух векторов v2→и v1→является третий вектор ∆v,→ построенный как сумма векторов v2→и –v1.→
Геометрически
 Алгебраически
|v1|→= 5 ед. |v2|→= 5 ед.
∆v = |v2→– v1|→≠ 0 ед.
∆v = |v2→- v1|→= 3,2 ед.
∆v x = v2x – v1x = 1 ед.
∆vy = v2y - v1y = 3 ед.


∆v = √(∆v x2 + ∆vy2) = √(12 + 32)  = √(1 + 9)  = √(10) = 3,2 ед.
∆vx = v2x - v1x = 5 ед. + 4 ед. = 1 ед.
∆vy = v2y + v1y = 0 – 3 ед. = 3 ед.
2 способ:
- перенести векторы v2→и v1→параллельно самим себе, чтобы они выходили из одной точки;
- построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм;
- разностью двух векторов v2→и v1→является третий вектор ∆v,→ построенный как диагональ, соединяющая концы векторов v2→и v1,→направленный в сторону уменьшаемого вектора v2.→
Геометрически
 Алгебраически
|v1|→= 5 ед. |v2|→= 5 ед.
∆v = |v2→– v1|→≠ 0 ед.
∆v = |v2→- v1|→= 3,2 ед.
∆v x = v2x – v1x = 1 ед.
∆vy = v2y - v1y = 3 ед.


∆v = √(∆v x2 + ∆vy2) = √(12 + 32)  = √(1 + 9) = √(10) = 3,2 ед.
∆vx = v2x - v1x = 5 ед. + 4 ед. = 1 ед.
∆vy = v2y + v1y = 0 – 3 ед. = 3 ед.