Геометрия и алгебра действий над векторами, или как не погубить ученика в девятом классе - Молодому учителю физики - Методика физики - Каталог статей - Материалы к ЕГЭ (физика)
Пятница, 09.12.2016, 12:35
Приветствую Вас Гость | Регистрация | Вход

Сверхзадача

Меню сайта
Категории каталога
Молодому учителю физики [3]
Несколько советов молодому учителю о решении задач по физике
Учителю о решении задач [6]
Форма входа
Поиск
Друзья сайта
Статистика
Поисковый анализ сайта Яндекс.Метрика Яндекс цитирования
Установите эту кнопку на свой сайт:
Дидактический материал по физике на http://www.sverh-zadacha.ucoz.ru
Онлайн всего: 2
Гостей: 2
Пользователей: 0

Каталог статей

Главная » Статьи » Методика физики » Молодому учителю физики

Геометрия и алгебра действий над векторами, или как не погубить ученика в девятом классе
Принципиально: параллельное рассмотрение геометрии и алгебры действий над векторами создает предпосылки для понимания учеником связанности одного и другого, что геометрическое представление и алгебраические операции над векторами – это об одном и том же, хотя и на разных языках. Это дает возможность ученику без затруднений переходить от одного способа выполнения действий к другому и обратно, переносить полученные результаты из одного способа представления в другой.
Имейте ввиду, что действия над векторами изучались в математике, а мы не можем быть уверены, что их чему-то внятному научили. Да и цели у математиков часто иные, чем у физиков. Хорошо, конечно, когда есть тесное, до деталей сотрудничество в рамках МО математиков и зависимых от них физиков, но чаще нет. Потому действия над векторами приходится начинать объяснять с нуля.
Всей своей предыдущей жизнью дети приучены были к работе с аддитивными величинами. Там 1тетрадь + 1тетрадь = 2тетради. Всегда.
Но в мире есть немало неаддитивных величин: 1 пачка тетрадей + 1 пачка тетрадей = 1 пачка тетрадей! Пусть большего объема, но одна. Ведь мы не тетради здесь складывали, а пачки.
Сложение неаддитивных величин не вписывается в привычные представления детей, требуют от них новых навыков и понятий, а потому даются им трудно. Имейте это ввиду. Отсюда становится понятным наше волнение по этому поводу и длинная преамбула к этой статье.
Для создания полной прозрачности во взаимоотношениях между геометрией и алгеброй мы выбираем векторы не произвольной длины и направления, а скажем так: длина вектора 5 ед., проекции на оси координат 4 ед. и 3 ед., чтобы образовался египетский треугольник.
Кроме того мы выполняем действия над векторами геометрически и параллельно то же самое алгебраически, и записи ведя не одно после другого, а для удобства сравнения параллельно. Также для удобства переноса знаний будем обозначать вектора так, как обозначаются физические величины в механике: s,a,Fи т.д.
Важно объяснить, что пользоваться можно как геометрическим, так и алгебраическим способами, складывать или вычитать векторы как первым способом, так и вторым. Все действия равноценны и дают одинаковый результат. Следовательно, действия над векторами можно заменить на действия с их проекциями, что в ряде случаев выполнить проще. Упор на ключевые слова «либо-либо»!
 
Табл. 1
Проекции вектора на координатные оси.
Определение: проекцией вектора sна ось называют отрезок между проекциями начала и конца вектора.
Правило знаков проекций: проекцию считают положительной, если от проекции начала к проекции конца вектора нужно идти по направлению оси, и отрицательной в противоположном случае.
Геометрически Алгебраически

|s|= 5 ед.
sx = 4 ед.
sy = 3 ед.

α = 36° 52’
OX:  sx = s·Cos α = 5 ед.·0,8 = 4 ед.
OY:  sy = s·Sin α = 5 ед.·0,6 = 3 ед.

|s|= 5 ед.
sx = 5 ед.
sy = 0 ед.


OX: sx = |s| = 5 ед.
OY: sy = 0 ед.

|s|= 5 ед.
sx = 0 ед.
sy = - 5 ед.


OX: sx = 0 ед.
OY: sy = - |s| = - 5 ед.
α = 36° 52’
|s|= 5 ед.
OX: sx = -3 ед.
OY: sy = - 4 ед.


sx = -s·Sin α = -5 ед.·0,6 = -3 ед.
sy = -s·Cos α = -5 ед.·0,8 = -4 ед.
 
Табл. 2
Умножение вектора на скаляр (число).
Определение:  Произведение вектора  aна скаляр m равно вектору  F, модуль которого в m раз больше модуля вектора  a, а направление совпадает с направлением  при положительном m и противоположно ему при отрицательном m.
Геометрически Алгебраически
m = 2; |a| = 5 ед.
|F|= |ma|= 10 ед.
OX: Fx = max = 8 ед.
OY: Fy = may = 6 ед.

|F|= |ma|= 2·5 ед.= 10 ед.
Fx = max = ma·Cos α = 2·5 ед.·0,8 = 8 ед.
Fy = may = ma·Sin α = 2·5 ед.·0,6 = 6 ед.
 
Табл. 3
Сложение векторов.
1 способ:
- перенести векторы s1и s2 параллельно самим себе, чтобы они выходили из одной точки;
- построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм;
- суммой векторов будеттретий вектор s0– диагональ параллелограмма, выходящая из общей точки слагаемых векторов.
Геометрически Алгебраически
|s1|= 5 ед. |s2|= 5 ед.
s0 = |s1+ s2|≠ 10 ед.
s0 = |s1+ s2|= 9,5 ед.
s0x = s1x + s2x = 9 ед.
s0y = s1y + s2y = 3 ед.


s0 = √(s0x2 + s0y2) = √(92 + 32)  = √(81 + 9)  = √ (90) = 9,5 ед.
s0x = s1x + s2x = 4 ед. + 5 ед. = 9 ед.
s0y = s1y + s2y = 3 ед. + 0 = 3 ед.
2 способ:
- перенести векторы s1 и s2 параллельно самим себе, чтобы конец первого был началом второго;
- сумма векторов - третий вектор s0, соединяющий начало первого и конец второго.
Геометрически Алгебраически
|s1|= 5 ед. |s2|= 5 ед.
s0 = |s1+ s2|≠ 10 ед.
s0 = |s1+ s2|= 9,5 ед.
s0x = s1x + s2x = 9 ед.
s0y = s1y + s2y = 3 ед.

s0 = √(s0x2 + s0y2) = √(92 + 32)  = √(81 + 9)  = √ (90) = 9,5 ед.
s0x = s1x + s2x = 4 ед. + 5 ед. = 9 ед.
s0y = s1y + s2y = 3 ед. + 0 = 3 ед.
 
Табл. 4
Вычитание векторов.
1 способ:
- разностью двух векторов v2и v1является третий вектор ∆v, построенный как сумма векторов v2и –v1.
Геометрически Алгебраически
|v1|= 5 ед. |v2|= 5 ед.
∆v = |v2– v1|≠ 0 ед.
∆v = |v2- v1|= 3,2 ед.
∆v x = v2x – v1x = 1 ед.
∆vy = v2y - v1y = 3 ед.


∆v = √(∆v x2 + ∆vy2) = √(12 + 32)  = √(1 + 9)  = √(10) = 3,2 ед.
∆vx = v2x - v1x = 5 ед. + 4 ед. = 1 ед.
∆vy = v2y + v1y = 0 – 3 ед. = 3 ед.
2 способ:
- перенести векторы v2и v1параллельно самим себе, чтобы они выходили из одной точки;
- построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм;
- разностью двух векторов v2и v1является третий вектор ∆v, построенный как диагональ, соединяющая концы векторов v2и v1,направленный в сторону уменьшаемого вектора v2.
Геометрически Алгебраически
|v1|= 5 ед. |v2|= 5 ед.
∆v = |v2– v1|≠ 0 ед.
∆v = |v2- v1|= 3,2 ед.
∆v x = v2x – v1x = 1 ед.
∆vy = v2y - v1y = 3 ед.


∆v = √(∆v x2 + ∆vy2) = √(12 + 32)  = √(1 + 9) = √(10) = 3,2 ед.
∆vx = v2x - v1x = 5 ед. + 4 ед. = 1 ед.
∆vy = v2y + v1y = 0 – 3 ед. = 3 ед.

Вы можете кликнуть внизу кнопку "Оценить!" Заранее спасибо!
Категория: Молодому учителю физики | Добавил: nick157yandex (05.08.2016)
Просмотров: 84 | Рейтинг: 5.0/1 |
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]