Варианты задач ЕГЭ разных лет (с решениями). <<< СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

1. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое меньше диаметра Земли. Чему равно отношение периодов обращения искусственных спутников Марса и Земли T_м/Т_з, движущихся по круговым орбитам на небольшой высоте? (Решение)

2. По горизонтальной дороге мальчик тянет сани массой 30 кг за веревку, направленную под углом 60° к плоскости дороги, с силой F = 100 Н. Коэффициент трения μ = 0,12. Определите ускорение саней. Каков путь, пройденный санями за 5 с, если в начальный момент их скорость была равна нулю? (Решение)

3. Грузики с точечными массами m₁ = 0,25 кг и m₂ = 0,5 кг прикреплены к невесомому стержню длиной l = 1 м (см. рисунок). Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. Грузик m₂ в нижней точке траектории имеет скорость υ = 2 м/с. Определите силу, с которой стержень действует на грузик m₁ в этот момент времени. (Решение)






4. Грузовой автомобиль массой Μ = 4 т с двумя ведущими осями тянет за нерастяжимый трос вверх по склону легковой автомобиль массой m = 1 т, у которого выключен двигатель. С каким максимальным ускорением могут двигаться автомобили, если угол уклона составляет α = arcsin 0,1, а коэффициент трения между шинами грузового автомобиля и дорогой μ = 0,2? Силой трения качения, действующей на легковой автомобиль, пренебречь. Массой колес пренебречь. (Решение)

5. К покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности телу приложена нарастающая с течением времени горизонтальная сила тяги F = bt, где b — постоянная величина. На рисунке представлен график зависимости ускорения тела от времени действия силы. Определите коэффициент трения скольжения. (Решение)





6. Определите массу груза, который нужно сбросить с аэростата массой 1100 кг, движущегося равномерно вниз, чтобы аэростат стал двигаться с такой же по модулю скоростью вверх. Архимедова сила, действующая на аэростат, равна 10⁴ Н. Силу сопротивления воздуха при подъеме и спуске считайте одинаковой. (Решение)

7. Шарик скользит без трения по наклонному желобу, а затем движется по «мертвой петле» радиуса R. С какой силой шарик давит на желоб в нижней точке петли, если масса шарика равна 100 г, а высота, с которой его отпускают, равна 4R? (Решение)



8. Материальные точки массами m₁ = 100 г и m₂ = 200 г соединены невесомым стержнем, как показано на рисунке. К точке m₂ прикреплена невесомая пружина жесткостью k = 30 Н/м, верхний конец которой закреплен. Длина пружины в недеформированном состоянии l₀ = 20 см. В начальный момент концы пружины связаны нитью длиной l = 10 см. Определите силу реакции стержня, действующую на массу m₁ сразу после пережигания нити. (Решение)




9. Материальные точки массами m₁ = 100 г и m₂ = 200 г соединены невесомым стержнем, как показано на рисунке. К точке m₂ прикреплена невесомая пружина жесткостью k = 30 Н/м, верхний конец которой закреплен. Длина пружины в недеформированном состоянии l₀ = 20 см. В начальный момент концы пружины связаны нитью длиной l = 10 см. Определите силу реакции стержня, действующую на точку массой m₂ сразу после пережигания нити. (Решение)

10. По горизонтальной дороге мальчик тянет сани массой 30 кг за веревку, направленную под углом 60° к плоскости дороги, с силой F = 100 Н. Коэффициент трения μ = 0,12. Определите ускорение саней. Каков путь, пройденный санями за 5 с, если в начальный момент их скорость была равна нулю? Ответ: а = [F(cosα + μsinα) – μmg]/m = 0,8 м/с², s = at²/2 = 10 м.

11. На гладкой горизонтальной плоскости находится длинная доска массой М. По доске скользит шайба массой m = 0,5 кг. Коэффициент трения между шайбой и доской μ = 0,2. В начальный момент времени скорость шайбы v₀ = 2 м/с, а доска покоится. В момент τ = 0,8 с шайба перестает скользить по доске. Чему равна масса доски М? (Решение)


12. Определите массу груза, который нужно сбросить с аэростата массой М = 1100 кг,. движущегося равномерно вниз, чтобы он стал двигаться с такой же по модулю скоростью вверх. Архимедова сила, действующая на аэростат, равна F_A = 10⁴ Н. Силу сопротивления воздуха при подъеме и при спуске считать одинаковой, g = 10 м/с². Ответ: m = 2(M − (FА/g)) = 200 кг.

13. В аттракционе человек массой 70 кг движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. С какой скоростью движется тележка в верхней точке круговой траектории радиусом 20 м, если в этой точке сила давления человека на сидение тележки равна 700 Н? (Решение)

14. В аттракционе человек массой 70 кг движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. Каков радиус круговой траектории, если в верхней точке сила давления человека на сидение тележки равна 700 Н при скорости движения тележки 10 м/с? (Решение)

15. В аттракционе человек массой 80 кг движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. Каков радиус круговой траектории, если в верхней точке сила давления человека на сидение тележки равна 200 Н при скорости движения тележки 7,5 м/с? (Решение)

16. В аттракционе человек движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. С какой скоростью должна двигаться тележка в верхней точке круговой траектории радиусом 6,4 м, чтобы в этой точке сила давления человека на сидение тележки была равна 0 Н? (Решение)

17. В аттракционе человек движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. С какой скоростью должна двигаться тележка в верхней точке круговой траектории радиусом 4,9 м, чтобы в этой точке сила давления человека на сидение тележки была равна 0 Н? (Решение)

18. В аттракционе человек массой 80 кг движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. Каков радиус круговой траектории, если при скорости 10 м/с, направленной вертикально вверх, сила нормального давления человека на сидение тележки равна 1 600 Н? (Решение)

19. В аттракционе человек массой 100 кг совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. Когда вектор скорости был направлен вертикально вниз, сила нормального давленйя человека на сидение была 2 000 Н. Найдите скорость тележки в этой точке при радиусе круговой траектории 5 м. (Решение)

20. В аттракционе человек массой 70 кг движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. С какой скоростью двигалась тележка в нижней точке круговой траектории радиусом 5 м, если в этой точке сила давления человека на сидение тележки была равна 2 100 Н? (Решение)

21. В аттракционе человек массой 60 кг движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. Каков радиус круговой траектории, если в нижней точке при движении тележки со скоростью 10 м/с сила давления человека на сидение тележки была равна 1 800 Н? (Решение)

22. Известно, что один оборот вокруг своей оси Венера совершает примерно за 243 земных суток, а масса Венеры составляет 0,82 от массы Земли. На орбиту какого радиуса надо вывести спутник Венеры, чтобы он всё время «висел» над одной и той же точкой поверхности? Известно, что спутники Земли, «висящие» над одной и той же точкой поверхности, летают по орбите радиусом R_з = 42000 км. (Решение)

23. Известно, что один оборот вокруг своей оси Луна совершает примерно за 28 земных суток, а масса Луны составляет ¹/₈₁ массы Земли. На орбиту какого радиуса надо вывести спутник Луны, чтобы он всё время «висел» над одной и той же точкой поверхности? Известно, что спутники Земли, «висящие» над одной и той же точкой поверхности, летают по орбите радиусом R_з = 42000 км. (Решение)

24. В вертикальной плоскости расположена гладкая трубка, изогнутая периодически в виде дуг окружностей одинаковым радиусом R (см. рис.). В верхнее отверстие трубки без начальной скорости запускают шарик массой m = 10 г. С какой по модулю силой F шарик действует на трубку в точке А, в конце первого периода своего движения по трубке? (Решение)













25. В вертикальной плоскости расположена гладкая трубка, изогнутая периодически в виде дуг окружностей одинаковым радиусом R (см. рис.). В верхнее отверстие трубки без начальной скорости запускают шарик массой m = 10 г. С какой по модулю силой F шарик действует на трубку в точке А, в конце первой половины периода своего движения по трубке? (Решение)









26. На гладкой горизонтальной плоскости находятся две одинаковые идеально упругие гладкие шайбы. Одна из них движется со скоростью v , равной по модулю 2 м/с, а другая покоится вблизи прямой линии, проведённой через центр первой шайбы в направлении её скорости. Шайбы сталкиваются, и после соударения вторая, первоначально покоившаяся шайба отскакивает под углом α = 45° к этой линии. Найдите скорость первой шайбы v₁ после столкновения. (Решение)

27. Полый конус с углом при вершине 2α вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен μ. При каком максимальном расстоянии L от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу. (Решение). (Система оценивания).

28. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу 2 кг. Шар наполняют гелием при атмосферном давлении 10⁵ Па. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар начнет поднимать сам себя. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0°C. (Решение)

29. Два одинаковых груза массой М = 100 г каждый подвешены на концах невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок с неподвижной осью. На один из них кладут перегрузок массой = 20 г, после чего система приходит в движение. Найдите модуль силы F, действующей на ось блока во время движения грузов. Трением пренебречь. (Решение)

30. На последнем автосалоне в Детройте фирма «Мерседес» представила новый родстер с двигателем объёмом 4,7 литра, способный разгоняться от 0 до 100 км/ч за 4,8 секунды. Считая, что процесс разгона происходит по горизонтали и является равноускоренным, определите, под каким углом к горизонту направлена сила, действующая на водителя со стороны сиденья во время такого разгона. (Решение)

31. К вертикальной стенке прислонена однородная доска, образующая с горизонтальным полом угол α = 47°. Коэффициент трения доски об пол равен µ = 0,4. Каков должен быть коэффициент µ₂ трения доски о стену, чтобы доска оставалась в равновесии? (Решение)

32. Из двух ровных досок сделан желоб, представляющий собой двугранный угол с раствором 2α = 90°. Желоб закреплен так, что его ребро горизонтально, а доски симметричны относительно вертикали. В желобе на боковой поверхности лежит цилиндр массой m = 1 кг. Коэффициент трения между досками и цилиндром равен µ = 0,2. К торцу цилиндра приложена горизонтально направленная сила F = 3 Н. Найдите модуль ускорения цилиндра. (Решение)








33. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами m₁ = 0,5 кг и m₂ = 2 кг соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена направленная вертикально вниз сила F = 4 Н. Найдите ускорение этой оси. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок. (Решение)


34. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг и соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена некоторая направленная вертикально вниз сила, в результате чего ось О движется с ускорением a₀= 3 м/с². Найдите модуль F этой силы. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок. (Решение)


35. В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на некоторую высоту h, и отпускают. Какую величину должна превзойти эта высота, чтобы брусок сдвинулся с места в тот момент, когда грузик проходит нижнюю точку траектории? Масса грузика m, масса бруска М, длина свисающей части нити L, коэффициент трения между бруском и поверхностью µ. Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь. (Решение)



36. В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на го-ризонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на высоту h, и отпускают. Длина свисающей части нити равна L. Какую величину должна превзойти масса грузика, чтобы брусок сдвинулся с места в момент прохождения грузиком нижней точки траектории? Масса бруска М, коэффициент трения между бруском и поверхностью µ. Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь. (Решение)



37. В системе, изображённой на рисунке, масса груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости, равна m = 3 кг. При подвешивании к оси подвижного блока груза массой M = 2 кг он движется вниз с ускорением a = 1 м/с². Чему равен коэффициент трения μ между грузом массой m и плоскостью? Нити невесомы и нерастяжимы, блоки невесомы, трение в осях блоков и о воздух отсутствует. (Решение)




38. Система из грузов m и M и связывающей их лёгкой и не растяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей через центр закреплённой сферы. Груз m находится в точке A на вершине сферы (см. рисунок). В ходе возникшего движения груз m отрывается от поверхности сферы, пройдя по ней дугу 30°, Найдите массу m, если М = 100 г. Размеры груза m ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы, пренебречь, Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующей на грузы. (Решение)



39. Система из грузов m и M и связывающей их легкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей перпендику лярно оси закреплённой цилиндрической трубы. Грузы находятся на горизонтальной прямой, пересекающей ось трубы (см. рисунок). В ходе возникшего движения груз m отрывается от поверхности трубы в её верхней точке A. Найдите массу M, если m = 100 г. Размеры грузов ничтожно малы по сравнению с радиусом трубы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил. действующих на грузы. (Решение)


40. Однородный стержень АВ массой m = 200 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С (см. рисунок). Вертикальная составляющая силы, с которой стержень давит на сосуд в точке В, равна по модулю N₁ = 1,2 Н. а её горизонтальная составляющая равна по модулю N₂ = 0.6 Н. Какой угол α образует стержень с горизонтальной плоскостью? Трением пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень. (Решение)





41. Стартуя из точки А (см. рисунок), конькобежец движется равноускоренно до точки В. после которой модуль скорости конькобежца остаётся постоянным вплоть до точки С. Во сколько раз модуль ускорения конькобежца на участке ВС больше, чем на участке АВ, если время, затраченное на оба участка, одинаково? Считать ВС полуокружностью. (Решение)





42. Грузы массами M = 1 кг и m связаны лёгкой нсрастяжимой нитью, переброшенной через блок, по которому нить может скользить без трения (см. рисунок). Г руз массой M находится на шероховатой наклонной плоскости (угол наклона плоскости к горизонту α = 30°, коэффициент трения μ = 0,3). Чему равно максимальное значение массы m, при котором система грузов ещё не выхолит из первоначального состояния покоя. (Решение)




43. После того, как брусок толкнули, он движется вверх по наклонной плоскости, а затем начинает соскальзывать вниз. При каких углах α наклона плоскости к горизонту это возможно, если коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью μ = 0.5? (Решение)

44. На границе раздела двух жидкостей плавает однородный сплошной цилиндр (см. рисунок). Доля объема цилиндра, которая находится выше границы раздела жидкостей, а = 0,367. Какова плотность нижней жидкости ρ₂, если плотности цилиндра и верхней жидкости ρ = 8900 кг/м³ и ρ₁ = 800 кг/м³ соответственно? (Решение)



45. На шероховатом горизонтальном диске, вращающемся вокруг вертикальной оси. покоится небольшое тело. Расстояние от оси вращения до тела r = 25 см. Угловую скорость вращения начали медленно увеличивать. Каков коэффициент трения μ между телом и диском, если тело начало скользить по диску при угловой скорости ω = 4,5 ¹/c ? (Решение)

46. Два небольших шара массами m₁ = 0,2 кг и m₂ = 0,3 кг закреплены на концах невесомого стержня АВ длиной L = 1 м, лежащего горизонтально на опорах С и D. Расстояние между опорами l = 0,6 м. а сила давления стержня на опору D в 2 раза больше, чем на опору С. Каково расстояние АС? Сделайте рисунок с указанием сил. действующих на стержень и шары. (Решение)


47. На гладкой горизонтальной плоскости находится длинная доска массой М = 2 кг. По доске скользит шайба массой m. Коэффициент трения между шайбой и доской μ = 0.2. В начальный момент времени скорость шайбы v₀ = 2 м/с, а доска покоится. В момент t = 0,8 с шайба перестаёт скользить по доске. Чему равна масса шайбы m? (Решение)


48. К одному концу лёгкой пружины жёсткостью k = 100 Н/м прикреплён массивный груз, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно (см. рисунок). Коэффициент трения груза по плоскости μ = 0,2. Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно d = 15 см. Найдите массу m груза. (Решение)


49. На внутренней поверхности вращающейся конической воронки с углом раствора 120° на расстоянии 50 см от оси вращения находится маленький брусок, покоящийся относительно воронки. Угловая скорость вращения воронки начинает очень медленно уменьшаться. Какова будет угловая скорость воронки к моменту, когда брусок соскользнёт к её вершине? Коэффициент трения бруска о поверхность воронки составляет 0,4. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на брусок. (Решение)






50. В установке, изображённой на рисунке, грузик A соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра. закреплённого на столе. Г рузик в отводят сторону, приподнимая его на некоторую высоту h. и отпускают. Какую величину должна превзойти эта высота, чтобы брусок сдвинулся с места в тот момент, когда грузик проходит нижнюю точку траектории? Масса грузика m, масса бруска М, длина свисающей части нити l, коэффициент трения между бруском и поверхностью μ. Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь. (Решение)



51. К гладкой вертикальной стене на нити подвешен однородный медный шар массы m = 5 кг (см. рис.), полностью погруженный в керосин (ρ = 900 кг/м³). Нить составляет угол 30° с вертикалью. Какова сила натяжения нити T? (Решение)





52. На однородный стержень длины l действуют две силы F₁ и F₂, приложенные к его концам и направленные в противоположные стороны (см. рисунок). С какой силой F растянут стержень в сечении, находящемся на расстоянии х от одного из его конпое? (Решение)


53. Деревянный шар привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с площадью дна S =100 см². В сосуд наливают воду так, что шар полностью погружается в жидкость, при этом нить натягивается и действует на шар с силой T. Если нить перерезать, то шар всплывёт, а уровень воды изменится на h = 5 см. Найдите силу натяжения нити T. (Решение)

54. Длинная узкая пластина массой m скользит вдоль вертикальной стенки. Пластина прижимается к стенке однородным жестким стержнем такой же массы m (см. рис.). Другой конец стержня закреплен в шарнире так, что стержень составляет с горизонтом постоянный угол 45°. Коэффициент трения между пластиной и стенкой μ =0,2. Каким должен быть коэффициент трения между пластиной и стержнем, чтобы пластина двигалась равномерно? (Решение)







55. На рисунке изображена система грузов массами m₁ = 3 кг и m₂ = 1 кг, связанных невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30°, коэффициент трения между грузом m₁ и наклонной плоскостью 0,1. Определите силу натяжения нити. (Ответ: 10.6 Н)






56. Коробок после удара в точке А скользит вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v0 = 5 м/с (см. рис.). В точке В коробок отрывается от наклонной плоскости. На каком расстоянии s от наклонном плоскости коробок упадет? Коэффициент трения μ = 0,2. Длина наклонной плоскости АВ = L = 0,5 м, угол наклона плоскости α = 30°, спротивлением воздуха пренебречь. (Ответ: 1.96 м)



57. Шар, наполовину погруженный в воду, лежит на дне сосуда. Масса шара 2 кг, плотность шара 8000 кг/м³. С какой силой шар давит на дно сосуда? Сделайте схематический рисунокс указанием действующих на шар сил. (Ответ: 18.75 Н)

58. Шайба после удара в точке А скользит вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v₀ = 3 м/с (см. рис.). В точке В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом R = 0,4 м. Какой должна быть длина наклонной плоскости АВ, чтобы в точке В шайба отрывалась от опоры? Угол наклона плоскости α = 30°. Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой μ = 0,2. (Ответ: 0.4 м)





59. Шайба после удара в точке А скользит вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v₀ = 3,5 м/с (см. рис.). В точке В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом R = 0,4 м. Каким должен быть коэффициент трения, чтобы в точке В шайба отрывалась от опоры? Длина наклонной плоскости АВ = L = 1,2 м, угол наклона плоскости α = 30°. (Ответ: 0.43)




60. Груз массой m, привязанный к закрепленной нерастяжимой нити длиной l = 73 см, вращается в горизонтальной плоскости с периодом вращения Т = 1,2 с. Найдите угол отклонения нити от вертикали. (Ответ: 60°)

61. Какие скорость и период обращения должен иметь спутник, чтобы двигаться по круговой орбите на высоте h = 600 км от поверхности Земли? Радиус Земли R_З = 6400 км. (Ответ: 7650 м/с; 5746 с)

62. Маленький груз массой m = 0,6 кг подвешен на невесомой и нерастяжимой нити, которая выдерживает максимальное натяжение Т₀ = 12 Н. На какой максимальный угол можно отвести груз от положения равновесия, чтобы при дальнейшем его движении нить не оборвалась? (Ответ: 60°)

63. Кубик со стороной 10 см плавает в воде, погрузившись на четверть своего объема. На воду сверху налили керосин слоем 2,5 см. Какая часть объема кубика будет после этого погружена в воду? (Ответ: 0.05)