Геометрия и алгебра действий над векторами, или как не погубить ученика в девятом классе
Принципиально: параллельное рассмотрение геометрии и алгебры действий над векторами создает предпосылки для понимания учеником связанности одного и другого, что геометрическое представление и алгебраические операции над векторами – это об одном и том же, хотя и на разных языках. Это дает возможность ученику без затруднений переходить от одного способа выполнения действий к другому и обратно, переносить полученные результаты из одного способа представления в другой.
Имейте ввиду, что действия над векторами изучались в математике, а мы не можем быть уверены, что их чему-то внятному научили. Да и цели у математиков часто иные, чем у физиков. Хорошо, конечно, когда есть тесное, до деталей сотрудничество в рамках МО математиков и зависимых от них физиков, но чаще нет. Потому действия над векторами приходится начинать объяснять с нуля.
Всей своей предыдущей жизнью дети приучены были к работе с аддитивными величинами. Там 1тетрадь + 1тетрадь = 2тетради. Всегда.
Но в мире есть немало неаддитивных величин: 1 пачка тетрадей + 1 пачка тетрадей = 1 пачка тетрадей! Пусть большего объема, но одна. Ведь мы не тетради здесь складывали, а пачки.
Сложение неаддитивных величин не вписывается в привычные представления детей, требуют от них новых навыков и понятий, а потому даются им трудно. Имейте это ввиду. Отсюда становится понятным наше волнение по этому поводу и длинная преамбула к этой статье.
Для создания полной прозрачности во взаимоотношениях между геометрией и алгеброй мы выбираем векторы не произвольной длины и направления, а скажем так: длина вектора 5 ед., проекции на оси координат 4 ед. и 3 ед., чтобы образовался египетский треугольник.
Кроме того мы выполняем действия над векторами геометрически и параллельно то же самое алгебраически, и записи ведя не одно после другого, а для удобства сравнения параллельно. Также для удобства переноса знаний будем обозначать вектора так, как обозначаются физические величины в механике: s,→a,→F→и т.д.
Важно объяснить, что пользоваться можно как геометрическим, так и алгебраическим способами, складывать или вычитать векторы как первым способом, так и вторым. Все действия равноценны и дают одинаковый результат. Следовательно, действия над векторами можно заменить на действия с их проекциями, что в ряде случаев выполнить проще. Упор на ключевые слова «либо-либо»!
Табл. 1
Проекции вектора на координатные оси.
Определение: проекцией вектора s→на ось называют отрезок между проекциями начала и конца вектора. Правило знаков проекций: проекцию считают положительной, если от проекции начала к проекции конца вектора нужно идти по направлению оси, и отрицательной в противоположном случае.
Определение: Произведение вектора a→на скаляр m равно вектору F→, модуль которого в m раз больше модуля вектора a,→ а направление совпадает с направлением при положительном m и противоположно ему при отрицательном m.
Геометрически
Алгебраически
m = 2; |a| = 5 ед.
|F|→= |ma|→= 10 ед.
OX: Fx = max = 8 ед.
OY: Fy = may = 6 ед.
|F|→= |ma|→= 2·5 ед.= 10 ед.
Fx = max = ma·Cos α = 2·5 ед.·0,8 = 8 ед.
Fy = may = ma·Sin α = 2·5 ед.·0,6 = 6 ед.
Табл. 3
Сложение векторов.
1 способ:
- перенести векторы s1→и s2→ параллельно самим себе, чтобы они выходили из одной точки;
- построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм;
- суммой векторов будеттретий вектор s0→– диагональ параллелограмма, выходящая из общей точки слагаемых векторов.
2 способ:
- перенести векторы s1 и s2 параллельно самим себе, чтобы конец первого был началом второго;
- сумма векторов - третий вектор s0, соединяющий начало первого и конец второго.
2 способ:
- перенести векторы v2→и v1→параллельно самим себе, чтобы они выходили из одной точки;
- построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм;
- разностью двух векторов v2→и v1→является третий вектор ∆v,→ построенный как диагональ, соединяющая концы векторов v2→и v1,→направленный в сторону уменьшаемого вектора v2.→
